Precizní příběhy Milana Hejného #2 aneb jak se v sedmé třídě děti dopracují k hlubokým matematickým myšlenkám

Z příběhu je opět vidět, že se mýlí ti, co si myslí, že Hejného metoda je jen pár nahodilých nápadů.

Šest izomorfních úloh

(podle textu Milana Hejného Poznávací proces (v matematice))

V sedmém ročníku jsem chtěl žáky dovést k objevu vztahu:

[latex s=2]\binom{n}{2} = \frac{n\cdot(n-1)}{2}[/latex]

(Pro ty, co to už zapomněli: výraz vlevo se čte 'n nad dvěma' a udává, kolik různých dvojic lze sestavit z n prvků.) Zvolil jsem strategii postupných objevů pro n = 5, 6, … Nejprve jsem ve třech po sobě jdoucích dnech (pondělí, úterý, středa), vždy ke konci hodiny, dal třídě postupně následující tři úlohy.

Úloha #1

Kolik různých přímek je tvořeno vrcholy pravidelného pětiúhelníku?

Úloha #2

Zjistěte, kolika způsoby se dá přečíst slovo KAMILA v přiložené tabulce. Začínáme nahoře vlevo a končíme dole vpravo. Chodíme jen vpravo nebo dolů.

Úloha #3

Ze dvou červených a tří modrých krychlí stavím pětipodlažní věže. Kolik různých věží mohu postavit?

Očekával jsem, že když žáci zjistí, že výsledek je pokaždé 10, tak také odhalí, že úlohy jsou izomorfní. (Tedy, že matematický model úloh je shodný, i když úlohy na první pohled vypadají naprosto odlišně.) Žáci úlohy bez problému vyřešili, ale izomorfismus neodhalili. Proto jsem ve čtvrtek hned na začátek hodiny připomněl tři předchozí úlohy a dal úlohu další:

Úloha #4

Na turnaji ve fotbale bylo přihlášeno pět mužstev. Hrálo se systémem každý s každým jeden zápas. Kolik proběhlo zápasů?

Již po chvíli několik žáků ukázalo, že úlohy #1 a #4 jsou izomorfní. Každý vrchol pětiúhelníku je jedno mužstvo a přímka spojující dva vrcholy je zápas mezi příslušnými mužstvy. Několik žáků vyslovilo názor, že i ty další budou stejné.

Kristýna na konci hodiny ukázala, že i úlohy #2 a #3 jsou stejné. Řekla „když jdu po té Kamile například vpravo, vpravo, dole, vpravo, dole (cestu zakresluje do tabulky), tak to je věž, která má (dívka na tabuli kreslí věž zdola nahoru) modrou krychli, modrou, červenou, modrou, červenou krychli“.

Po přestávce, když jsem již odcházel ze školy, doběhl Arpád a ukázal mi, jak souvisejí věže a fotbalový turnaj. Očísloval krychle u věže i mužstva čísly 1, 2, 3, 4 a 5 a řekl, že když jsou ve věži třeba krychle 2. a 5. červené, tak to značí zápas mezi mužstvy 2 a 5. Svým objevem byl nadšen a vykládal jej kamarádům.

Následující hodinu již snad polovina třídy věděla, že všechny čtyři úlohy jsou stejné (izomorfní), ale nevím, zda byl ve třídě žák, který by dokázal ihned najít přímý vztah mezi kterýmikoli dvěma z daných úloh. Ke konci hodiny jsem dal žákům ještě dvě další úlohy.

Úloha #5

Fotbalový zápas skončil výsledkem 3:2. Kolik různých průběhů mohl mít?

Úloha #6

Kolika způsoby je možné rozmístit 3 kuličky do tří misek: A, B, C?

Kristýna skoro ihned propojila úlohu #5 s úlohou #2. Ukázala princip propojení: „když dají gól domácí, jdu ve jménu KAMILA doprava, když dají gól hosté, jdu dolů“.

V úterý již Ivan třídě vyložil, že všechny ty úlohy, kromě poslední, jsou na jedno brdo. Stačí si ty věci očíslovat 1, 2, 3, 4, 5, pak vždy dvě z těch čísel zvolit. Tímto uchopením všech úloh pomocí jediného značení hoši objevili kombinatorický pojem, který matematici zapisují [latex s=2]\binom{5}{2}[/latex] a nazývají „pět nad dvěma“.

Na žádost třídy Arpád na tabuli ukázal, jak očíslování udělá v jednotlivých úlohách i to, jaký prvek pak odpovídá dvojici například 2 a 5:

• u pětiúhelníku očísluji vrcholy a přímkou spojím body 2 a 5
• u KAMILy očísluji pohyby; druhý a pátý půjdu dolů, u ostatních půjdu vpravo; tedy jdu dolů u písmen A a L.
• v turnaji očísluji mužstva; spolu hrají družstva 2 a 5
• u věže očísluji krychle třeba odspodu; červené jsou druhá a pátá krychle
• ve fotbalovém zápasu očísluji góly; hosté dali druhý a pátý gól.

Nakonec Ivan dodal, že nejlépe to všechno vidět na tom pětiúhelníku. O úloze #6 prohlásil, že i když výsledek vychází 10, tato úloha k našim nepatří.

Po týdnu jsem se k úlohám vrátil s výzvou, abychom v nich počet prvků zvýšili z pěti na šest. Upřesnil jsem, že v úloze #2 to bude obdélník 4 2 se jménem MARTINA, v úloze #3 budu mít 2 červené a 4 modré krychle, v úloze #5 bude výsledek 4:2 a v úloze #6 do tří misek budeme vkládat 4 kuličky.

Řešení všech úloh bylo nalezeno velice rychle, výsledek byl 15. Pouze do nové úlohy #6 se nikomu nechtělo. Nakonec se do toho pustily dvě dívky, které všechny případy rozkreslovaly. Dospěly též k výsledku 15.

Diskuze třídy trvala sotva 10 minut a byla přerušena Kristýnou, která řekla, že když v úloze #1 místo pěti-, nebo šesti-úhelníku vezmeme třeba 10úhelník, tak přímek bude 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45. Na tabuli ukázala, že začne s vrcholem 10 a ten spojí se zbývajícími devíti. Pak vrchol 9 spojí s vrcholy od 1 do 8. Poté vrchol 8 s vrcholy od 1 do 7. Tak půjde až do konce.

Během tohoto vysvětlování přišla k tabuli Hela a beze slova nakreslila tabulku

Když Kristýna skončila svůj výklad, Hela vysvětlila že „Vr“ je počet vrcholů a „Př“ počet přímek. Že se postupně přidává 5, pak 6, pak 7 a z tabulky vidět jak to půjde dále.

Ivan řekl, že to je dobře, ale dá se to počítat tak, že „z každého vrcholu toho 10úhelníku vedu 9 přímek; to jsem každou přímku počítal dvakrát; tak vezmu z nich jen polovinu. Takže to bude“ a hoch napsal na tabuli (10 x 9):2. Třída souhlasila. Na můj dotaz, jak by to bylo pro n-úhelník, Kritýna řekla, že se to sečtou čísla od n až do jedné. Ivan řekl, že stejně, jen místo 10 by tam bylo n. Napsal jsem tedy (n x 9):2. Třída nesouhlasila, že i těch 9 je třeba změnit. Chvíli to trvalo, než se třída dobrala k zápisu (n x m):2, m = n - 1. Pak ale někdo napsal:

[latex s=2]\frac{n\cdot(n-1)}{2}[/latex]

Ivan řekl „jo, takhle je to lepší“. Nakonec jsem řekl, že matematici to zapisují [latex s=2]\binom{n}{2}[/latex] a čtou "n nad dvěma". Na to, proč je i úloha #6 izomorfní s ostatními přišli Kristýna s Ivanem až v osmém ročníku.

Přijdete na to vy?

Příběhy uveřejňujeme s laskavým svolením profesora Milana Hejného, který je zaznamenal během své dlouhé učitelské praxe a Ondřeje Šteffla, který je přichystal k publikování.

Tento text původně vyšel na EDUzín - Magazín o vzdělávání.